تازه چه خبر

تعریف تابع

  • شروع کننده موضوع Danish
  • تاریخ شروع

به انجمن دانشوران خوش آمدید

جدا از دانش نباشید، امروز به ما بپیوندید!

Danish

دانش
عضو کادر مدیریت
یک تابع \(f:X\to Y\) از مجموعه \(X\) بتوی مجموعه \(Y\)، یک رابطه \(R\) روی حاصلضرب دکارتی \(X\) و \(Y\) می باشد که
\[R\subseteq X\times Y\ \&\ R=\{(x,y)\in X\times Y\ ;\ (x,y_1)=(x,y_2) \Longrightarrow y_1=y_2 \}\]
حال اگر \((x,y)\in R\) آنگاه قرار می دهیم \(f(x)=y\).
 

Danish

دانش
عضو کادر مدیریت
تعریف تابع



فرض کنیم x زمانی باشدکه از لحظه پرتاب یک سفینه فضایی می گذرد ، و y مکانی باشد که سفینه در این زمان در آنجا قرار دارد ، واضح است که x ( زمان ) در هر لحظه مقدار منحصر به فردی دارد . اما موقعیت مکانی سفینه y می تواند تکراری باشد . یعنی اگر در زمان ۲ بعد از ظهر سفینه در مکان ۷۰۰ کیلومتری باشد ، پس از طی زمانی مثلا در ساعت ۸ شب می تواند دوباره به همان مکان بازگردد . حال اگر ما زمان و موقعیت زمانی سفینه را بصورت زوج مرتب (x,y) نمایش دهیم . خواهیم داشت .که x همواره مقدار منحصر به فردی است .اما y می تواند تکراری باشد و جالب اینجاست که اگر x تکراری باشد پس حتما y هم باید تکراری باشد .
اکنون با این مقدمه تعریف تابع از چند لحاظ مطرح می کنیم .

۱-تعریف تابع از لحاظ زوج مرتب
یک تابع مجموعه ای از زوج مرتب است ، که در آن هیچ دو زوج مرتبی دارای مولفه اول یکسان نباشند در غیر این صورت اگر مولفه های اول یکسان باشند آنگاه مولفه های دوم هم حتما باید مساوی باشند .
مثال ۱ : آیا { (۳,۴),(۷,۶),(۱,۲)} این رابطه یک تابع است ؟
جواب :بله یک تابع است . چون در تمام زوجهای مرتب بالا عناصر اول منحصر به فرد هستند و یکسان نیستند
مثال ۲:آیا {(۱,۲),(۱,۲),(۳,۴),(۵,۹)}این رابطه یک تابع است ؟
جواب : بله تابع است . اگر چه دارای زوج مرتب با عناصر یکسان و تکراری است ، اما عناصر دوم این زوجهای مرتب نیز مساوی هستند .
مثال ۳ : آیا { (۱,۲),(۱,۴),(۳,۲)} این رابطه یک تابع است ؟
جواب : خیر تابع نیست . چون دو زوج مرتب دارد که مولفه های اول آنها یکسان است اما مولفه های دوم آنها یکسان نیست .

۲-تعریف تابع بصورت نمودار ون
هر گاه در نموداری ، A مجموعه اول و B مجموعه دوم باشد و پیکانهایی از هر عضو مجموعه A به تنها یک عضو مجموعه B داشته باشیم . این نمودار نمایش دهنده تابع است ،
مثال ۱ : نمودار زیر یک تابع است ، چرا که از هر عنصر مجموعه A فقط یک پیکان خارج شده است .

نکته ۱: در برخی از کتابها ، گفته می شود که اگر مجموعه A عضوی داشته باشد که هیچ پیکانی از آن خارج نشده باشد باز هم می تواند تابع باشد .فعلا وارد این بحث نمی شویم اما فقط به عنوان یک نکته ذکر می کنیم . و در شرایط فعلی این نکته را نادیده می گیریم.و بعدها در پستی جداگانه آن را مفصلا مورد بحث قرار می دهیم.
مثال ۲ : نمودار زیر تابع است . زیرا از هر عنصر مجموعه A فقط یک پیکان به سمت مجموعه B خارج شده است و همچنین طبق نکته گفته شده ( نکته با رنگ سبز) از یکی از عناصر هیچ پیکانی خارج نشده است .


مثال ۳ : نمودار زیر تابع نیست . چون از یکی ، از عناصر مجموعه اول دو پیکان خارج شده است .


۳- تعریف تابع از دیدگاه ریاضی با ضابطه
اگر فرض کنیم A و B دو مجموعه باشند آنگاه f را تابعی از مجموعه A به مجموعه B می گویند .هر گاه به ازای هر عضو x از مجموعه A عضو منحصر به فردی مانند y از مجموعه B نسبت داده شود . و چنانچه عضو y منحصر به فرد نباشد ( تکراری باشد ) پس عنصر x هم باید تکراری یا یکسان باشد و تابع را به صورت ( y=f(x) نمایش می دهیم .



یعنی مجموعه A در واقع ورودیهایی برای یک فرآیند هست که ما به آن می گوییم f و پس انجام عملهایی بر روی عناصر مجموعه A آنگاه عناصر مجموعه B را خروجی تابع می نامیم

در واقع رابطه زوج مرتب یک تابع بصورت (خروجی ،ورودی) است و به زبان ریاضی (x,f(x)) است.
الان چگونه می توان با بیان ریاضی تشخیص داد که یک ضابطه f از A به B تابع است ؟
جواب آن به این شکل است . که اگر f یک ضابطه از A به B است . آنگاه خواهیم داشت :

زوج مرتب متعلق به ضابطه f

زوج مرتب دیگری که باز هم متعلق به ضابطه f است .
اکنون از دو زوج مرتب بالا ، چون در هر دو زوج مرتب مولفه های اول یکسان هستند پس مولفه های دوم نیز باید یکسان باشند یعنی


مثال ۱ : آیا تابع است ؟
جواب : اگر زوج مرتب باشد آنگاه ضابطه ما همان
اگر زوج مرتب دیگری باشد آنگاه ضابطه ما خواهد بود
حالا چون در دو زوج مرتب بالا مولفه های اول یکسان هستند باید ثابت کنیم مولفه های دوم نیز یکسان هستند
پس داریم :


پس ضابطه بالا تابع است .

مثال ۲ : آیا ضابطه تابع است ؟
جواب :

اگر x در هر دو زوج مرتب یکسان باشد از رابطه بالا داریم که



اما مساوی نیستند پس ضابطه بالا تابع نیست

جمع بندی و نتیجه گیری مطلب
شرایط تشخیص تابع بودن
۱-نمودار ون : در نمودار ون اگر از یک عضو مجموعه اول بیش از یک پیکان خارج شده باشد آنگاه این نمودار تابع نیست در بقیه حالتها تابع است.به عبارتی دیگر از هر عضو مجموعه اول فقط و فقط یک پیکان خارج شود
۲-زوج مرتب : در حالت زوج مرتب ، مولفه های اول نباید برابر باشند ، و در صورتی که مولفه های اول برابر باشند آنگاه مولفه های دوم نیز باید برابر باشند.
۳-نمودار مختصاتی : هر خط موازی محور عرضها (محور y ) نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع کند
۴-نمایش با ضابطه : در یک ضابطه به فرم (y=f(x زمانی y تابعی بر حسب x است که به ازای هر x تنها یک y منحصر به فرد داشته باشیم
 
Chat
Help Users
  • در حال حاضر هیچ کس چت نمی کند.
    هیچ پیامی در گپ وجود ندارد. اولین کسی باشید که می گوید سلام!
    بالا